Módulo de Poisson.

 

Fuerza cortante en elementos rectos y momento flector

Ocurre flexión cuando un elemento de sección constante y simétrica respecto al plano donde ocurre dicha flexión, se somete a momentos flectores, M, (o a cargas transversales). La figura muestra un elemento, denominado ‘viga’, de sección rectangular sometido a flexión. Cuando la viga está sometida a momentos flectores, sin cargas transversales, ocurre flexión pura.

Ilustración 2- Momento flector

 

El elemento sometido a flexión se curva, de tal manera que algunos puntos se alargan quedando sometidos a esfuerzos de tracción.

Ilustración 3- Tracción

Las ecuaciones para flexión son válidas bajo las siguientes condiciones:

1. La viga es recta en dirección longitudinal (sin carga).

 2. El punto a analizar no está situado en la proximidad del punto de aplicación de una fuerza, o de una discontinuidad de la sección.

3. El esfuerzo calculado en la superficie es válido si ésta es lisa.

4. La sección de la viga es simétrica con respecto al plano de aplicación de las cargas.

5. Las alas, si las hay, no están pandeadas.

6. La carga es estática.

7. El material es homogéneo.

 8. La viga no está retorcida.

9. El material no tiene tensiones residuales.

10. El esfuerzo cortante (vertical) es despreciable comparado con el esfuerzo de flexión.

11. No hay componente longitudinal de las fuerzas sobre la viga.

12. El esfuerzo permanece proporcional a la deformación (Ley de Hooke), es decir, el esfuerzo no sobrepasa el valor del límite de proporcionalidad.

Los diagramas de fuerza cortante y momento flector de una viga son aquellos en los cuales se puede determinar la fuerza cortante interna, V, y el momento flector interno, M, en las diferentes secciones de la viga. Entonces, de estos diagramas se determinan las secciones de mayores momentos flectores y mayores fuerzas cortantes.

Ejemplo:

La viga ‘larga’ simplemente apoyada, tiene una sección rectangular constante de 5 cm de ancho por 15 cm de alto, y está sometida a las cargas mostradas. Construir los diagramas de fuerza cortante y momento flector de la viga, determinar los puntos de mayores esfuerzos y los valores de dichos esfuerzos.

Ilustración 4- ejemplo fuerza cortante

Solución:

Para trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flector se deben determinar las reacciones en los apoyos, para lo cual se hace el diagrama de cuerpo libre y se plantean las ecuaciones de equilibrio. Después de trazar el diagrama de momento flector se identifica la sección con mayor momento y se calculan los esfuerzos máximos, a tracción y a compresión; como la viga es ‘larga’, los esfuerzos cortantes no se analizan.

 

Ilustración 5-Diagrama de cuerpo libre

Ilustración 6- Análisis de diagrama

Ø  En la sección A hay una carga concentrada hacia arriba, RAy, igual a 19.29 kN; en el diagrama se dibuja una flecha vertical hacia arriba que representa esta fuerza. Entre la sección A y la B hay una carga distribuida uniforme, ωAB = 10 kN/m, que aporta una carga hacia abajo de 15 kN ya que actúa sobre 1.5 m de la viga; para una carga distribuida uniforme se dibuja en el diagrama una línea recta inclinada, la cual parte de la cabeza de la flecha en A y llega en B a un valor de 19.29 kN–15 kN = 4.29 kN, como se ilustra en la figura.

Ø  Entre las secciones B y C no hay carga transversal; por lo tanto, la fuerza cortante es constante, y se dibuja una línea horizontal hasta C a partir del punto inferior de la línea inclinada. En la sección C se encuentra una fuerza concentrada hacia abajo, FC = 12 kN, entonces, se dibuja una flecha hacia abajo que representa esta fuerza, hasta alcanzar un valor de V igual a 4.29 kN – 12 kN = –7.71 kN.

Ø  Entre las secciones C y E no hay fuerza transversal; por lo tanto, se dibuja una línea horizontal hasta E desde la cabeza de la última flecha. Finalmente, en E se dibuja una flecha vertical hacia arriba, que corresponde a la reacción REy = 7.71 kN; el diagrama ‘cierra’ en la línea correspondiente a V = 0, indicando que existe equilibrio de fuerzas verticales.

Ilustración 7-Diagrama de momento cortante

El diagrama de momento flector de la viga, se basa en las áreas del diagrama de fuerza cortante y en los momentos flectores concentrados en la viga; como no hay momento flector concentrado en A, la curva del diagrama parte desde el origen. Cuando en el diagrama de fuerza cortante se tenga: (i) una línea horizontal, en el de momento flector se tiene una línea recta inclinada; (ii) una línea inclinada, en el diagrama de momento se tiene una parábola, (iii) una parábola, en el de momento se tiene una curva cúbica, y así sucesivamente.

En el diagrama de fuerza cortante se tiene: entre A y B una línea inclinada, y entre B y E líneas horizontales, lo que significa que en el diagrama de momento se tendrá una parábola, entre A y B, y rectas inclinadas entre B y E. Las áreas en el diagrama de fuerza cortante y los momentos concentrados nos indican hasta donde van las diferentes líneas. Entre A y B, tenemos un área igual a [(19.29 kN + 4.29 kN)/2] (1.5 m) = 17.69 kN-m; entonces, en el diagrama de momento se traza una parábola, desde el origen, hasta un punto directamente sobre B que equivale a 17.69 kN-m. Ya que V es la pendiente del momento flector, para trazar la parábola debe recordarse que a menor valor de V, menor es la pendiente de aquella.

Entre B y C se traza una recta desde el último punto hasta alcanzar un valor directamente sobre C igual al valor anterior (17.69 kN-m) más el área entre B y C en el diagrama de fuerza cortante (4.29 kN×1 m): (17.69 + 4.29) kN-m = 21.98 kN-m. Entre C y D se traza una recta hasta alcanzar en D el valor obtenido al sumar el último valor (21.98 kN) y el área correspondiente (–7.71 kN×2 m), lo que da 6.56 kN-m. En D hay un momento concentrado de 5 kN-m en sentido horario. Los momentos concentrados en sentido horario se toman positivos (y los antihorarios negativos), se traza en D una línea vertical hacia arriba hasta alcanzar un valor de 6.56 kN-m + 5 kN-m = 11.56 kN-m. 1

Finalmente, entre D y E se traza una recta hasta alcanzar en E un valor igual a 11.56 kN-m + (–7.71)(1.5 m) = 0. El diagrama ‘cierra’ en M = 0, lo cual indica que existe equilibrio de momentos en el plano x-y.

Como se dijo al comienzo de la solución del ejemplo, sólo se analizarán los esfuerzos normales, ya que los cortantes son muy pequeños en la viga ‘larga’. Los esfuerzos normales en los puntos más alejados del eje neutro de una viga doblemente simétrica están dados por la ecuación 2.10. Como Z = I/c es constante en toda la viga, los esfuerzos máximos ocurren en la sección de mayor momento, es decir, en la C: M = MC = 21.98 kN-m. La sección de la viga tiene un momento de inercia I = (1/12)(0.05 m)(0.15 m)3 = 1.406×10–5 m4, el valor de c es de (0.15 m)/2 = 0.075 m; entonces, Z = (1.406 × 10–5 m4)/(0.075 m) = 1.875×10–4 m3.

Ilustración 8- solución final